この章では、変数分離型微分方程式の基本的な解法について紹介していきます。
変数分離型微分方程式の定義と基本性質
- 変数分離型微分方程式とは、次の形に変形できる微分方程式を指します。 \[ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \] このとき、変数を分離すると \[ \frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx \] となり、両辺をそれぞれ積分して解を求めます。
- 基本手順：
- \( y \) と \( x \) を分離して、両辺にそれぞれ \( dy \) と \( dx \) を含める。
- 両辺を積分する。
- 積分定数 \( C \) を含めた一般解を得る。
- 初期条件が与えられている場合には、積分定数を決定して特定解を求めます。
概説
変数分離型微分方程式は、比較的簡単に解ける基本的なタイプの微分方程式です。
重要なポイントは、「\( y \) に関する項と \( x \) に関する項を完全に分ける」ことです。
分離できたら、それぞれ独立に積分を行い、最終的に積分定数 \( C \) を加えて答えを表します。
また、場合によっては、積分後の式を \( y \) について明示的に解き直すこともあります。
例題
次の変数分離型微分方程式を解きなさい。
- \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = xy \)
- \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)
略解
- (1) \[ \frac{dy}{dx} = xy \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{y}dy = x\,dx \] 両辺を積分して、 \[ \int \frac{1}{y}dy = \int x\,dx \quad \Rightarrow \quad \log_e |y| = \frac{1}{2}x^2 + A \] （ここで \( A \) は積分定数） 指数関数をとると、 \[ |y| = e^{\frac{1}{2}x^2 + A} = e^A e^{\frac{1}{2}x^2} \] ここで \( e^A \) を新しい定数 \( K > 0 \) とおき、 \[ y = \pm K e^{\frac{1}{2}x^2} \] さらに、\( \pm K \) をまとめて新しい積分定数 \( C \) とおくと、 \[ y = C e^{\frac{1}{2}x^2} \] （\( C \) は任意の定数）
- (2) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{y}dy = \frac{1}{x}dx \] 両辺を積分して、 \[ \int \frac{1}{y}dy = \int \frac{1}{x}dx \quad \Rightarrow \quad \log_e |y| = \log_e |x| + A \] （ここで \( A \) は積分定数） 両辺に指数関数をとると、 \[ |y| = e^{\log_e |x| + A} = e^A |x| \] ここで \( e^A \) を新しい定数 \( K > 0 \) とおき、 \[ y = \pm K x \] さらに、\( \pm K \) をまとめて新しい積分定数 \( C \) とおくと、 \[ y = Cx \] （\( C \) は任意の定数）
答え： (1) \( y = C e^{\frac{1}{2}x^2} \) (2) \( y = Cx \)
