この章では、数の四則演算（加法・減法・乗法・除法）に関する基本的な法則について紹介していきます。
四則演算の基本法則
- 交換法則（Commutative Law）：
- 加法：\( a + b = b + a \)
- 乗法：\( a \times b = b \times a \)
- 結合法則（Associative Law）：
- 加法：\( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- 乗法：\( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
- 分配法則（Distributive Law）：
- \( a(b+c) = ab + ac \)
- \( (a+b)c = ac + bc \)
- 減法・除法について：
- 減法と除法には交換法則や結合法則は成り立たない。
- ただし、減法は加法、除法は乗法に変換することで、基本的な法則を適用できる。
概説
四則演算（加法・減法・乗法・除法）には、それぞれ特有の性質が存在します。
- 加法と乗法には、交換法則と結合法則が成り立ちます。
- 分配法則は、乗法が加法や減法に分配できることを示しています。
- 減法と除法は、交換や結合の順番を変えると結果が異なるため、交換法則や結合法則は成り立ちません。
減法は「加法と負の数」として、除法は「乗法と逆数」として捉えることで、加法・乗法と同様の法則が部分的に使える場合もあります。
例題
次の等式が成り立つかを判定し、理由を述べなさい。
- \( 5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2 \)
- \( 4 \times (2 + 6) = (4 \times 2) + (4 \times 6) \)
- \( 8 – (5 – 2) = (8 – 5) – 2 \)
- \( \dfrac{6}{2} \times 3 = \dfrac{6}{2 \times 3} \)
略解
- (1) 成り立つ。加法の結合法則により、どちらも \( 5 + 3 + 2 = 10 \) になる。
- (2) 成り立つ。分配法則により、\( 4 \times 8 = 32 \) と、\( 8 + 24 = 32 \) は等しい。
- (3) 成り立たない。左辺は \( 8 – 3 = 5 \)、右辺は \( 3 – 2 = 1 \) で異なる。
- (4) 成り立たない。左辺は \( 3 \times 3 = 9 \)、右辺は \( \dfrac{6}{6} = 1 \) で異なる。
答え： (1) 成り立つ (2) 成り立つ (3) 成り立たない (4) 成り立たない
