この章では、指数（べき乗）に関する基本的な法則について紹介していきます。
指数の基本法則
- 積の法則（Product Law）： \[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]
- 商の法則（Quotient Law）： \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0) \]
- 累乗の法則（Power Law）： \[ (a^m)^n = a^{mn} \]
- 積に対する指数法則： \[ (ab)^n = a^n b^n \]
- 商に対する指数法則： \[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \]
- ゼロ指数： \[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \]
- 負の指数： \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0) \]
概説
指数法則は、数の乗算・除算・累乗操作を簡単に扱うための基本的なルールです。
特に、同じ底を持つ数の乗算・除算や、累乗の累乗を簡潔に表現する際に重要です。
負の指数やゼロ指数の取り扱いも大切であり、 指数が負のときは逆数、指数が0のときは1になることを正しく覚えておきましょう。
これらの法則を正しく使いこなすことで、式の整理や計算を効率的に進めることができます。
例題
次の計算をせよ。
- \( 2^3 \times 2^4 \)
- \( \frac{5^6}{5^2} \)
- \( (3^2)^4 \)
- \( (2 \times 5)^3 \)
- \( \left( \frac{4}{3} \right)^2 \)
- \( 7^0 \)
- \( 2^{-3} \)
略解
- (1) \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)
- (2) \( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \)
- (3) \( (3^2)^4 = 3^{2\times4} = 3^8 = 6561 \)
- (4) \( (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000 \)
- (5) \( \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} \)
- (6) \( 7^0 = 1 \)
- (7) \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
答え： (1) 128 (2) 625 (3) 6561 (4) 1000 (5) \( \frac{16}{9} \) (6) 1 (7) \( \frac{1}{8} \)
