この章では、二次式の展開に関する基本的な公式について紹介していきます。
二次式の展開公式
- 平方の公式：
- \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
- 積の公式（和と差の積）： \[ (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \]
- 一般形の展開（1）： \[ (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \]
- 一般形の展開（2）： \[ (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd \]
概説
二次式の展開公式は、式の展開や因数分解の基本となる重要な公式です。
- 平方の公式では、同じ式の和や差を2乗した場合に、展開の形が簡単に求まります。
- 積の公式では、和と差の積が2乗の差になることを示します。
- さらに、\((x+a)(x+b)\) 型や \((ax+b)(cx+d)\) 型の展開公式も覚えておくと、素早い式変形に役立ちます。
これらの公式を正しく使いこなすことで、因数分解や方程式の解法もスムーズに進めることができます。
例題
次の式を展開しなさい。
- \( (x+5)^2 \)
- \( (2a-3b)^2 \)
- \( (p+q)(p-q) \)
- \( (x+2)(x-3) \)
- \( (2x+1)(3x-4) \)
略解
- (1) \( (x+5)^2 = x^2 + 2 \times 5x + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \)
- (2) \( (2a-3b)^2 = (2a)^2 – 2 \times 2a \times 3b + (3b)^2 = 4a^2 – 12ab + 9b^2 \)
- (3) \( (p+q)(p-q) = p^2 – q^2 \)
- (4) \( (x+2)(x-3) = x^2 + (-3+2)x + (-6) = x^2 – x – 6 \)
- (5) \( (2x+1)(3x-4) = 2x \times 3x + 2x \times (-4) + 1 \times 3x + 1 \times (-4) \) \[ = 6x^2 – 8x + 3x – 4 = 6x^2 – 5x – 4 \]
答え： (1) \( x^2 + 10x + 25 \) (2) \( 4a^2 – 12ab + 9b^2 \) (3) \( p^2 – q^2 \) (4) \( x^2 – x – 6 \) (5) \( 6x^2 – 5x – 4 \)
