この章では、三次式の因数分解に関する基本的な公式について紹介していきます。
三次式の因数分解公式
- 和と差の公式（三次式）：
- 和： \[ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \]
- 差： \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \]
- 三乗展開の逆公式：
- 和： \[ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3 \]
- 差： \[ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3 \]
- 共通因数でくくる公式： \[ ax^3+bx^2+cx = x(ax^2+bx+c) \]
概説
三次式の因数分解では、主に次の手順を意識します。
- 三乗の形に注目し、和・差・展開形に応じた公式を使う。
- 共通因数がある場合は、まずそれをくくり出す。
- 三乗展開形の逆パターン（\( (a+b)^3 \)型、\( (a-b)^3 \)型）にも注意する。
式の形を素早く見極める力をつけることが、スムーズな因数分解につながります。
例題
次の式を因数分解しなさい。
- \( x^3+8 \)
- \( a^3-b^3 \)
- \( 2x^3+6x^2+4x \)
- \( p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 \)
- \( m^3-3m^2n+3mn^2-n^3 \)
略解
- (1) \[ x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \] （和の公式）
- (2) \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \] （差の公式）
- (3) 共通因数 \(2x\) をくくると、 \[ 2x(x^2+3x+2) \] さらに因数分解して、 \[ 2x(x+1)(x+2) \]
- (4) \[ p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 = (p+q)^3 \] （三乗展開の逆公式）
- (5) \[ m^3-3m^2n+3mn^2-n^3 = (m-n)^3 \] （三乗展開の逆公式）
答え： (1) \( (x+2)(x^2-2x+4) \) (2) \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \) (3) \( 2x(x+1)(x+2) \) (4) \( (p+q)^3 \) (5) \( (m-n)^3 \)
