この章では、絶対値を複数含む方程式の解き方について紹介していきます。
複数の絶対値を含む方程式の基本
- 複数の絶対値が含まれる方程式では、**中身が0になる境界**で**場合分け**を行います。
- 各場合について、絶対値の中身の符号によって \(|A| = A\) または \(|A| = -A\) として式を変形し、通常の方程式として解きます。
- 求めた解が**その場合の条件を満たすか必ず確認**し、満たすものだけを解答とします。
概説
たとえば、式に \( |x + 1| \) や \( |x – 3| \) が含まれている場合、 絶対値の中が 0 になる \( x = -1 \)、\( x = 3 \) を基準にして、次のように3つの範囲で場合分けをします：
- \( x < -1 \)：両方負になるので、絶対値はどちらもマイナスをつけて外す
- \( -1 \leq x < 3 \)：片方だけ正になるので、それぞれの符号に応じて外す
- \( x \geq 3 \)：両方正になるので、絶対値はそのまま外す
このように、各範囲ごとに「絶対値をどう外すか」を慎重に判断して式を解いていきます。
例題
次の方程式を解きなさい。
- \( |x + 1| + |x – 3| = 6 \)
略解
絶対値の中が0になる点は、\( x = -1 \) と \( x = 3 \) なので、次の3つに場合分けします：
- \( x < -1 \) のとき： この範囲では – \( x + 1 < 0 \) → \( |x + 1| = -(x + 1) \) - \( x - 3 < 0 \) → \( |x - 3| = -(x - 3) \) したがって式は： \[ -(x + 1) + -(x - 3) = 6 \Rightarrow -x - 1 - x + 3 = 6 \Rightarrow -2x + 2 = 6 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2 \] この解は \( x < -1 \) を満たすので、**有効な解です**。
- \( -1 \leq x < 3 \) のとき： – \( x + 1 \geq 0 \) → \( |x + 1| = x + 1 \) – \( x – 3 < 0 \) → \( |x - 3| = -(x - 3) \) 式は： \[ (x + 1) + (-(x - 3)) = 6 \Rightarrow x + 1 - x + 3 = 6 \Rightarrow 4 = 6 \] これは**成り立たない**ので、この範囲には**解なし**。
- \( x \geq 3 \) のとき： – \( x + 1 \geq 0 \) → \( |x + 1| = x + 1 \) – \( x – 3 \geq 0 \) → \( |x – 3| = x – 3 \) 式は： \[ (x + 1) + (x – 3) = 6 \Rightarrow 2x – 2 = 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \] この解は \( x \geq 3 \) を満たすので、**有効な解です**。
以上より、解は： \[ \boxed{x = -2,\ 4} \]
