この章では、複素数における絶対値の定義とその性質について紹介していきます。
複素数の絶対値の定義と基本性質
- 複素数 \( z = a + bi \)（\( a, b \) は実数、\( i = \sqrt{-1} \)）の絶対値 \( |z| \) は次のように定義されます。 \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
- 絶対値 \( |z| \) は、複素平面上で原点 \((0, 0)\) から点 \((a, b)\) までの距離を表します。
- 主な性質：
- \( |z| \geq 0 \)（絶対値は常に非負）
- \( |zw| = |z||w| \)（積の絶対値）
- \( \left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|z|}{|w|} \quad (w \neq 0) \)（商の絶対値）
- \( |z + w| \leq |z| + |w| \)（三角不等式）
概説
複素数 \( z = a + bi \) は、複素平面上で点 \((a, b)\) を表します。
絶対値 \( |z| \) は、原点からその点までの距離を意味し、 2次元座標系における距離公式に従って次のように求めます。
\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
また、複素数の絶対値には次のような性質が成り立ちます。
- 絶対値は常に0以上の値をとります。
- 2つの複素数の積の絶対値は、それぞれの絶対値の積に等しいです。
- 割り算でも同様に、商の絶対値は分子と分母の絶対値の商に等しくなります。
- 三角不等式も成り立ちます。
例題
次の複素数の絶対値を求めなさい。
- \( 3 + 4i \)
- \( -1 + \sqrt{3}i \)
- \( -5i \)
- \( 2 \)
略解
- \( |3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( |-1+\sqrt{3}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \)
- \( |-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( |2| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \)
答え： (1) 5 (2) 2 (3) 5 (4) 2
