この章では、絶対値を1つ含む方程式の解き方について紹介していきます。
絶対値を含む方程式の基本
- 絶対値は「数の大きさ」を表します。 \[ |x| = a \quad (a \geq 0) \] の解は、 \[ x = a \quad または \quad x = -a \] となります。
- したがって、絶対値を含む方程式は、絶対値の定義に従って**場合分け**を行って解きます。
概説
絶対値 \( |x – a| = b \) の形の方程式では、 中身が \( b \) または \( -b \) のときに成り立つため、次の2つの式を立てます：
\[ x – a = b \quad または \quad x – a = -b \]それぞれの式を解いて、答えを求めます。
また、右辺が負（たとえば \( |x – 1| = -2 \)）の場合は、**絶対値の性質上、解なし**になります。
例題
次の方程式を解きなさい。
- \( |x – 1| = 2 \)
略解
- (1) 絶対値の定義より、 \[ |x – 1| = 2 \quad \Rightarrow \quad x – 1 = 2 \quad または \quad x – 1 = -2 \] それぞれ解いて、 – \( x – 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \) – \( x – 1 = -2 \Rightarrow x = -1 \) したがって、解は \[ \boxed{x = -1,\ 3} \]
答え： \( x = -1,\ 3 \)
