この章では、複数の絶対値を含む不等式の解き方について紹介していきます。
複数の絶対値を含む不等式の基本
- 絶対値が2つ以上含まれる不等式では、まず絶対値の中身が0になる点を基準にして場合分けします。
- 各範囲で、絶対値の定義に従ってすべての絶対値を外し、普通の不等式として整理します。
- 求めた解が、その場合の範囲条件を満たすか必ずチェックし、満たすものだけを解答とします。
概説
たとえば、次のような不等式：
\[ |2x + 1| \leq |2x – 1| + x \] では、絶対値の中が 0 になる点（境界）は \( x = -\frac{1}{2} \)、\( x = \frac{1}{2} \)。 この2点で場合分けして、次のように3つの範囲で処理します：- \( x < -\frac{1}{2} \)：両方負 → どちらもマイナスをつけて絶対値を外す
- \( -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \)：片方だけ正 → 符号に応じて外す
- \( x \geq \frac{1}{2} \)：両方正 → そのまま絶対値を外す
例題
次の不等式を解きなさい。
- \( |2x + 1| \leq |2x – 1| + x \)
略解
まず、絶対値の中が0になる点は：
– \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \) – \( 2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \) これをもとに、3つの範囲で場合分けします。 —- \( x < -\frac{1}{2} \) のとき： この範囲では – \( 2x + 1 < 0 \) → \( |2x + 1| = -(2x + 1) \) - \( 2x - 1 < 0 \) → \( |2x - 1| = -(2x - 1) \) 式は： \[ -(2x + 1) \leq -(2x - 1) + x \Rightarrow -2x - 1 \leq -2x + 1 + x \Rightarrow -2x - 1 \leq -2x + x + 1 \Rightarrow -2x - 1 \leq -x + 1 \] 両辺に \( +2x \) を加えて： \[ -1 \leq x + 1 \Rightarrow x \geq -2 \] この解 \( x \geq -2 \) は、もとの条件 \( x < -\frac{1}{2} \) との共通部分として： \[ -2 \leq x < -\frac{1}{2} \]
- \( -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \) のとき： この範囲では： – \( 2x + 1 \geq 0 \) → \( |2x + 1| = 2x + 1 \) – \( 2x – 1 < 0 \) → \( |2x - 1| = -(2x - 1) \) 式は： \[ 2x + 1 \leq -(2x - 1) + x \Rightarrow 2x + 1 \leq -2x + 1 + x \Rightarrow 2x + 1 \leq -x + 1 \] 両辺から 1 を引くと： \[ 2x \leq -x \Rightarrow 3x \leq 0 \Rightarrow x \leq 0 \] この解 \( x \leq 0 \) は、もとの条件 \( -\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2} \) と重なるので： \[ -\frac{1}{2} \leq x \leq 0 \]
- \( x \geq \frac{1}{2} \) のとき： この範囲では： – \( 2x + 1 \geq 0 \) → \( |2x + 1| = 2x + 1 \) – \( 2x – 1 \geq 0 \) → \( |2x – 1| = 2x – 1 \) 式は： \[ 2x + 1 \leq 2x – 1 + x \Rightarrow 2x + 1 \leq 3x – 1 \] 両辺から \( 2x \) を引いて： \[ 1 \leq x – 1 \Rightarrow x \geq 2 \] この解は \( x \geq 2 \)、もとの条件 \( x \geq \frac{1}{2} \) に含まれるのでそのまま採用。
まとめ： 範囲ごとの解を統合すると：
\[ \boxed{ -2 \leq x < -\frac{1}{2} \quad \text{または} \quad -\frac{1}{2} \leq x \leq 0 \quad \text{または} \quad x \geq 2 } \] すなわち： \[ \boxed{ -2 \leq x \leq 0 \quad \text{または} \quad x \geq 2 } \]