この章では、絶対値を1つ含む不等式の基本的な扱い方と解法について紹介していきます。
絶対値不等式の基本
- 絶対値を含む不等式は、以下のように定義に従って場合分けします。
- \( |A| \leq a \quad (a \geq 0) \) のとき： \[ -a \leq A \leq a \]
- \( |A| > a \quad (a > 0) \) のとき： \[ A < -a \quad \text{または} \quad A > a \]
- 不等式を満たす範囲は、数直線や図でイメージすると理解しやすくなります。
概説
絶対値の不等式は、「距離」に関する条件と考えると直感的です。
- \( |x – a| \leq r \)：点 \( x \) が \( a \) を中心にして半径 \( r \) 以内にある。
- \( |x – a| > r \)：点 \( x \) が \( a \) から半径 \( r \) より外側にある。
したがって、\(|A| \leq a\) 型では**はさみうち型の不等式**、 \(|A| > a\) 型では**または型の不等式**になります。
例題
次の不等式を解きなさい。
- \( |x + 4| \leq 5 \)
- \( |2x – 3| > 3 \)
略解
- (1) \[ |x + 4| \leq 5 \Rightarrow -5 \leq x + 4 \leq 5 \] 両辺から 4 を引くと： \[ -9 \leq x \leq 1 \]
- (2) \[ |2x – 3| > 3 \Rightarrow 2x – 3 < -3 \quad \text{または} \quad 2x - 3 > 3 \] それぞれ解いて： \[ 2x < 0 \Rightarrow x < 0 \] \[ 2x > 6 \Rightarrow x > 3 \] よって、解は： \[ x < 0 \quad \text{または} \quad x > 3 \]
答え：
(1) \( -9 \leq x \leq 1 \)
(2) \( x < 0 \) または \( x > 3 \)
