この章では、実数における絶対値の性質について紹介していきます。
実数の絶対値の定義と基本性質
- 実数 \( x \) に対して、絶対値 \( |x| \) は次のように定義されます。 \[ |x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases} \]
- 絶対値は「原点からの距離」を表します。
- 主な性質：
- \( |x| \geq 0 \)（絶対値は常に非負）
- \( |ab| = |a||b| \)（積の絶対値）
- \( \left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0) \)（商の絶対値）
- \( |a+b| \leq |a| + |b| \)（三角不等式）
概説
絶対値 \( |x| \) は、実数直線上で原点（0）から数 \( x \) までの距離を表します。
定義式を見ると、\( x \geq 0 \) のときはそのまま \( x \)、 \( x < 0 \) のときは符号を反転させて \( -x \) になります。
また、次のような性質が成り立ちます。
- 絶対値は常に0以上の値をとります。
- 2つの数の積の絶対値は、それぞれの絶対値の積に等しいです。
- 割り算でも同様に、商の絶対値は分子と分母の絶対値の商に等しくなります。
- 三角不等式とは、2つの数を足した絶対値は、それぞれの絶対値を足したもの以下であるという性質です。
例題
次の問いに答えなさい。
- \( |3|,\ |-5| \) をそれぞれ求めよ。
- \( |2 \times (-4)| \) を求めよ。
- \( \left| \dfrac{-6}{3} \right| \) を求めよ。
- \( |3 + (-7)| \) を求めよ。
略解
- \( |3| = 3 \)、\( |-5| = 5 \)
- \( 2 \times (-4) = -8 \) より、\( |-8| = 8 \)
- \( \dfrac{-6}{3} = -2 \) より、\( |-2| = 2 \)
- \( 3 + (-7) = -4 \) より、\( |-4| = 4 \)
答え： (1) 3, 5 (2) 8 (3) 2 (4) 4
