この章では、三次式の展開に関する基本的な公式について紹介していきます。
三次式の展開公式
- 三乗の公式（1）： \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
- 三乗の公式（2）： \[ (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \]
- 和と差の積公式（三次式）： \[ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \] \[ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 – b^3 \]
概説
三次式の展開公式は、因数分解や式変形において非常に重要な役割を果たします。
- 三乗の公式では、和または差を3乗したときの展開形がわかります。
- 和と差の積公式では、\( a^3 \pm b^3 \) の形を因数分解する際に使います。
特に、高次方程式の解法や因数分解問題で頻繁に登場するので、正確に覚えておくことが大切です。
例題
次の式を展開しなさい。
- \( (x+2)^3 \)
- \( (2a-3b)^3 \)
- \( (p+q)(p^2-pq+q^2) \)
- \( (m-n)(m^2+mn+n^2) \)
略解
- (1) \[ (x+2)^3 = x^3 + 3x^2 \times 2 + 3x \times 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
- (2) \[ (2a-3b)^3 = (2a)^3 – 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 – (3b)^3 \] それぞれ計算すると、 \[ = 8a^3 – 3(4a^2)(3b) + 3(2a)(9b^2) – 27b^3 \] \[ = 8a^3 – 36a^2b + 54ab^2 – 27b^3 \]
- (3) \[ (p+q)(p^2-pq+q^2) = p^3 + q^3 \]
- (4) \[ (m-n)(m^2+mn+n^2) = m^3 – n^3 \]
答え： (1) \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \) (2) \( 8a^3 – 36a^2b + 54ab^2 – 27b^3 \) (3) \( p^3 + q^3 \) (4) \( m^3 – n^3 \)
