この章では、二次式の因数分解に関する基本的な公式と、たすきがけによる因数分解方法について紹介していきます。
二次式の因数分解公式
- 平方の差の公式： \[ a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) \]
- 完全平方公式：
- \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
- \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)
- 共通因数でくくる公式： \[ ax+ay = a(x+y) \]
- 基本形の因数分解公式： \[ x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) \]
- 係数あり型の因数分解公式： \[ acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d) \]
概説
二次式の因数分解は、式を簡単な積の形に変える操作です。
- 平方の差：二つの平方の差は、和と差の積に因数分解できます。
- 完全平方：特定の形をした二次式は、平方の展開公式の逆を使って因数分解できます。
- 基本形・係数あり型：二次式を、2つの1次式の積の形に分解する公式です。
- 共通因数：各項に共通因数があれば、それをくくり出して因数分解します。
これらを組み合わせて、さまざまな二次式を効率よく因数分解できるようになります。
たすきがけによる因数分解
係数つきの二次式 \[ ax^2+bx+c \] の因数分解には、たすきがけの方法が有効です。
たすきがけの手順：
- \( a \) の約数、\( c \) の約数をリストアップする。
- たすきがけの形に組み合わせ、交差する積の和が \( b \) になるものを探す。
- 見つかったら、その組み合わせを使って因数分解する。
たすきがけを使えば、係数が1でない場合でも素早く因数分解が可能です。
例題
次の式を因数分解しなさい。
- \( x^2-9 \)
- \( x^2+6x+9 \)
- \( x^2+5x+6 \)
- \( 2x^2+7x+3 \)
略解
- (1) \[ x^2-9 = (x+3)(x-3) \] （平方の差の公式）
- (2) \[ x^2+6x+9 = (x+3)^2 \] （完全平方公式）
- (3) \( a=2,\ b=5,\ c=6 \) のとき、 基本形を考えると、\((x+2)(x+3)\) が対応。 \[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \] （基本形公式）
- (4) たすきがけを使う。 \(2\)と\(1\)、\(3\)と\(3\)を組み合わせると、 \[ 2x \times 3 = 6x,\quad 1x \times 3 = 3x \] 交差して和が \(6x+1x=7x\) となり、\( b=7 \)に一致。 よって、 \[ 2x^2+7x+3 = (2x+3)(x+1) \] （係数あり型公式に対応）
答え： (1) \( (x+3)(x-3) \) (2) \( (x+3)^2 \) (3) \( (x+2)(x+3) \) (4) \( (2x+3)(x+1) \)
