この章では、二重根号（根号の中にさらに根号がある形）について、その定義と外し方の基本を紹介していきます。
二重根号の定義と基本的な処理
- 二重根号とは、たとえば \(\sqrt{a + \sqrt{b}}\) のように、根号の中にさらに根号がある形のことです。
- このような式は、適切に変形することで「外す（簡単な形にする）」ことができます。
- 典型的な変形の基本形は以下の通り： \[ \sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \quad (\text{ただし } a = x + y,\ b = xy) \]
概説
二重根号は一見複雑に見えますが、決まったパターンに当てはめることで外すことが可能です。
代表的なのは、 \[ \sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \] という形で、
- \( x + y = a \)
- \( \sqrt{xy} = \sqrt{b} \Rightarrow xy = b \)
となるような \( x, y \) を見つけて変形します。 また、\(\sqrt{a – 2\sqrt{b}} = \left|\sqrt{x} – \sqrt{y}\right|\) のように、引き算で表すパターンもあります。
例題
次の二重根号を外しなさい。
- \( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \)
- \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \)
略解
- (1) \[ x + y = 7,\quad xy = 12 \Rightarrow t^2 – 7t + 12 = 0 \Rightarrow t = 3,\ 4 \] \[ \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} \]
- (2) \[ x + y = 5,\quad xy = 6 \Rightarrow t^2 – 5t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2,\ 3 \] \[ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \]
答え： (1) \( 2 + \sqrt{3} \) (2) \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \)
