この章では、数の分類と集合記号について紹介していきます。
数の分類と集合記号
- 自然数（Natural numbers）：\( 1, 2, 3, \ldots \) のような正の整数。記号：\( \mathbb{N} \)
- 整数（Integers）：\( \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \)。記号：\( \mathbb{Z} \)
- 有理数（Rational numbers）：整数の比で表せる数（例：\( \dfrac{1}{2},\ -\dfrac{3}{4} \)）。記号：\( \mathbb{Q} \)
- 無理数（Irrational numbers）：有理数で表せない数（例：\( \sqrt{2},\ \pi \)）
- 実数（Real numbers）：有理数と無理数を合わせた集合。記号：\( \mathbb{R} \)
- 複素数（Complex numbers）：実数と虚数を含む数。記号：\( \mathbb{C} \)
概説
数は大きく次のように分類されます。
- 自然数は「数を数える」ための基本的な数です。
- 整数は自然数に0と負の数を加えた集合です。
- 有理数は、2つの整数の比（分数）で表せる数を指します。
- 無理数は、有理数で表せない無限小数（例：\( \pi,\ \sqrt{2} \)）です。
- 実数は有理数と無理数をあわせた集合です。
- 複素数は、実数に虚数（\( i = \sqrt{-1} \)）を加えた集合です。
集合の包含関係は次のようになります。
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
また、無理数は \( \mathbb{R} \) に含まれますが、\( \mathbb{Q} \) には含まれません。
例題
次の数のうち、無理数に分類されるものをすべて選びなさい。
- \( \sqrt{2} \)
- \( -\dfrac{3}{5} \)
- \( \pi \)
- 2.25
略解
- \( \sqrt{2} \) は無理数です。
- \( -\dfrac{3}{5} \) は有理数（分数で表せる）。
- \( \pi \) は無理数です。
- 2.25 は有理数（\( \dfrac{9}{4} \)と表せる）。
答え： (1)、(3)
