この章では、平方根の性質について紹介していきます。
平方根の定義と基本性質
- 実数 \( a \geq 0 \) に対して、\( \sqrt{a} \) は「\( x^2 = a \) を満たす非負の数 \( x \)」と定義されます。
- 主な性質：
- \( \sqrt{a} \geq 0 \)
- \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0) \)
- \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0,\ b > 0) \)
- \( (\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0) \)
概説
平方根 \( \sqrt{a} \) は、「二乗すると \( a \) になる非負の実数」として定義されます。
例えば、\( \sqrt{9} = 3 \) です（\( 3^2 = 9 \)）。
平方根には次のような性質があります：
- \( \sqrt{a} \) は常に0以上の値をとります。
- 正の数同士の積の平方根は、それぞれの平方根の積に等しいです。
- 同様に、正の数の商の平方根は、それぞれの平方根の商に等しいです。
- 平方根を二乗すると元の数に戻ります。
例題
次の計算をしなさい。
- \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \)
- \( \sqrt{18} \)
- \( \sqrt{\dfrac{9}{16}} \)
- \( (\sqrt{5})^2 \)
略解
- \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)
- \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4} \)
- \( (\sqrt{5})^2 = 5 \)
答え：
- (1) 4
- (2) \( 3\sqrt{2} \)
- (3) \( \dfrac{3}{4} \)
- (4) 5
