【数学検定1級対策講座】一次分数変換の構成と係数決定
数学検定１級の内容で、複素数平面上の変換（一次分数変換）の構成を、条件から逆に係数を求めていく問題です。
問題
複素数平面上の点 \( z \) を \( w = \frac{az + b}{cz + d} \) で定まる点に移す変換を「一次分数変換」という。 （ただし \( a, b, c, d \) は複素数定数、\( ad – bc \neq 0 \)） 次の条件をすべて満たすとき、\( a, b, c \) の値を求めよ。
- \( d = 1 \)
- \( z = 0 \) を \( w = 2 \) に写す
- \( z = 2i \) を \( w = 0 \) に写す（\( i \) は虚数単位）
- 円 \( |z| = 1 \) を円 \( |w| = 1 \) に写す
解法のポイント
- 2点対応から \( a, b \) を決定
- 単位円の写像条件 \( \left| \frac{iz + 2}{cz + 1} \right| = 1 \) を絶対値式で処理
- 共役と \( |z| = 1 \) を用いた展開と整理で \( c = 2i \) を導出
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